Durante las últimas dos décadas se han publicado algunos artículos que relacionan la inclusión la vivienda en los portafolios de inversión de los hogares o destacan la importancia de los mismos en sus ganancias. En el año 2005 se publica un artículo denominado: “Portfolio Choice in the Presence of Housing”, donde muestra que la inversión en vivienda juega un papel crucial en la explicación de los patrones que definen la riqueza y en el nivel de las reservas o recursos en la composición de la cartera. Debido a la inversión en vivienda requiere utilizar un elevado gasto de los ingresos, las personas más jóvenes y las más pobres tienen una riqueza financiera limitada para invertir en otro tipo de activos como las acciones, lo que reduce los beneficios de la participación en el mercado de acciones. (Cocco J. F., 2005)

Un estudio efectuado para la CEPAL en 1999 denominado: “La vivienda como activo de los hogares”, considera que la vivienda constituye uno de los principales activos con que cuentan los hogares, dado que el gasto en vivienda representa una proporción considerable del presupuesto familiar entre los arrendatarios, al tiempo que implica un ahorro igualmente importante cuando se dispone del bien en propiedad o usufructo. En este sentido, las formas de acceso a la vivienda pueden ser examinadas en sus efectos positivos o negativos, dentro del portafolio de recursos que movilizan los hogares para el bienestar (Fuentes, 1999).

Zhang (2005) analiza la dinámica entre la adquisición de vivienda y el consumo en la elección del portafolio de un inversionista, cuando recibe un ingreso laboral estocástico y se enfrenta al riesgo de la vivienda por las garantías que exigen los bancos y los gastos de financiación que implica el valor de la hipoteca, para tal efecto utilizan una función de utilidad tipo Cobb -Douglas (Zhang, 2005).

Un capítulo de libro denominado The porfolio Management process and the investment policy statement y publicado en el año 2007 (Maggnin, 2007), considera que la conformación del portafolio está integrada por una serie de etapas a través de las cuales se puede lograr la combinación de activos rentables para mantener un adecuado del portafolio. En la definición del portafolio se toman en cuenta unos procesos como: los objetivos y restricciones de la inversión, las estrategias y desarrollos, la decisión sobre la composición de los activos; la medición y evaluación de las características del portafolio; el monitoreo de las condiciones del mercado y se su incidencia en la redefinición del portafolio.

Un artículo denominado: “Los fondos de inversión inmobiliaria y la producción privada de vivienda en Santiago de Chile: ¿Un nuevo paso hacia la financiarización de la ciudad?’’ (Cattaneo, 2011), tiene como objetivo, analizar el papel jugado por los fondos de inversión inmobiliaria chilenos en la producción de los espacios residenciales de Santiago. Por medio del examen de su portafolio de colocaciones habitacionales, subraya su importancia en el financiamiento de la edificación privada de vivienda. Para definir estos programas, los fondos han privilegiado las tipologías y las localizaciones que se adecuan mejor a sus temporalidades y a sus lógicas de funcionamiento. De este modo, han tenido influencia directa sobre en la verticalización de la ciudad, y en los procesos de renovación de los barrios céntricos considerando el fenómeno de la financiarización de las grandes metrópolis en el sector habitacional.

Recientemente Chatty Raj y Lázlo Sándor (2016), escriben un documento sobre: “El efecto de la vivienda en la selección del portafolio”, donde caracterizan los efectos de la vivienda en las carteras, diferenciando los efectos de la equidad de la vivienda y la deuda hipotecaria. Aíslan la variación exógena del patrimonio neto y las hipotecas mediante el uso de diferencias en los precios de las viviendas y las elasticidades de la oferta de vivienda como instrumentos de los mercados de la vivienda, concluyen que un incremento en el valor de la propiedad (manteniendo el valor de la vivienda constante) reducen la tenencia de acciones, mientras que los aumentos de los precios de la vivienda aumentan riqueza en la equidad de la vivienda (Chetty, Sándor, & Szeidl, 2016).

Este estudio se basa en la realidad que afrontan muchos hogares de estratos medio y bajo y es la necesidad de comprar vivienda propia para asegurar su bienestar. Una de las maneras de obtener este bien es mediante la financiación al sistema bancario con intereses hipotecarios, ajustados de acuerdo al comportamiento de la inflación. La tenencia de vivienda propia se convierte en muchos casos en el único activo y fuente de riqueza de los hogares, que genera cierta rentabilidad y cuyo valor esperado se acerca a cero cuando es financiada.

Cuando la vivienda es financiada, el pago de las cuotas puede estar afectada por el riesgo de mercado es decir por la volatilidad de la tasa de interés cuando está atada a la inflación, lo cual eleva el valor de las cuotas y compromete la tenencia del inmueble; para tal fin cuando se toma en cuenta la aversión al riesgo de los inversionistas y se espera que, durante los pagos del crédito, tomen las precauciones necesarias para pagar el inmueble, optando por su alquiler. Este mecanismo permite a muchos inversionistas garantizar el pago de la obligación hipotecaria y reducir la exposición al riesgo que genera la volatilidad del mercado de las tasas de interés. Por tal razón, se espera que a medida que aumente la aversión al riesgo del inversionista, reduzca el riesgo de mercado efectuando oportunamente el pago de la obligación. Por lo tanto, se espera demostrar que la aversión al riesgo del inversionista atenúe el riesgo de mercado y genere una rentabilidad si decide alquilar el inmueble, al incluirla como un activo importante en su portafolio.

Los modelos que se presentarán en este artículo toman como referencia el modelo de equilibrio del mercado de activos financieros, aplicado en la teoría del portafolio eficiente desarrollado por James Tobin, Harry Markowitz y por William Sharpe en la de la década de los años cincuenta. Mediante este modelo se busca generar un portafolio eficiente que demuestre como la tenencia de vivienda genera alguna rentabilidad al inversionista, cuando se compara con otro activo financiero. El objetivo es calcular el valor esperado óptimo del portafolio cuando se incluye la compra de vivienda, para tal efecto, los conceptos de retorno y volatilidad juegan un papel determinante en la selección de los activos. Esta teoría ha sido utilizada para estimar modelos de optimización de las carteras y su incidencia en la toma de las decisiones de los inversionistas.

El siguiente apartado tiene por objeto determinar dos clases de modelos: el primero a partir de una variante del modelo media varianza propuesto por Harry Markowitz y el siguiente un modelo a partir de la función de utilidad tipo Cobb-Douglas. Para tal efecto se considerarán dos grupos de hogares: los que tienen capacidad de ahorro y están pagando su vivienda al sistema financiero y aquellos que están pagando la vivienda mediante una hipoteca, pero no tienen capacidad de ahorro. De otra parte, este enfoque se contrastará un modelo basado en la función de utilidad tipo Cobb Douglas, que incorpora como activo la rentabilidad de la vivienda y el gasto en consumo de los hogares para maximizar esta función tomando como restricción el ingreso disponible y considerando la aversión al riesgo en la rentabilidad de vivienda y el ahorro.

Los hogares tienen aversión al riesgo (A) y maximizan la utilidad esperada de su riqueza al final del periodo.

Las variables que definen el modelo de portafolio basado en el enfoque de media - varianza son:

El riesgo de mercado: “se deriva de cambios en el precio de los activos y pasivos financieros (o volatilidades) y se mide a través de cambios en el valor de las posiciones abiertas” (Jorion, 2003, pág. 33). También se define como la pérdida que puede sufrir un inversionista en los mercados financieros, debido a la diferencia en los precios que se registran en el mercado por cambios en las variables macroeconómicas o en los movimientos de los llamados factores de riesgo (tasas de interés, tipos de cambio y precio de las acciones entre otros).

En este punto se propone una función de utilidad esperada del portafolio de inversión que relaciona el riesgo de mercado y la aversión al riesgo representada a través de una constante A, cuyos valores son positivos. Los modelos se enuncian a continuación.

Se propone este modelo como una extensión de la teoría del portafolio eficiente de Harry Markowitz que toma como referencia los parámetros de media y varianza de los activos financieros e incluye la aversión al riesgo (A) del inversionista. Los inversionistas eligen una distribución óptima de su riqueza w₀ , entre un activo con tasa de interés libre de riesgo, N activos con riesgo y están sujetas a dos restricciones: una presupuestaria y la proporción de riqueza distribuidos en activos riesgosos.

Dado que i_o es la tasa de interés de los activos con bajo de riesgo, z son los retornos de los activos expuestos al riesgo y α = (α₁, α₂, ⋯, α_N) el porcentaje de participación de los activos dentro del portafolio, entonces el valor de la riqueza al final del período está dada por: w₁= w₀ (1 + i + a'z).

La función de utilidad esperada de w₁ es (Nabcini, 2008):

E U w = E w 1 - A 2 v a r ( w 1 ) (8)

El modelo define dos parámetros la media μ = E (w₁) y la desviación estándar. La utilidad esperada del portafolio es:

E U α = 1 + i 0 w 0 + w 0 ( α ' μ - A 2 α ' Ω α ) (9)

Donde (1 + i₀)w₀ es la parte del portafolio que incluye un activo libre de riesgo y la otra parte es la composición de activos expuestos al riesgo de mercado, Ω la matriz de varianzas y covarianzas del rendimiento de los activos. El problema de maximización se formaliza como:

m a x a ϵ R + N   f ( a ' μ - A 2 a ' Ω a ) (10)

Donde:

N: son los activos con riesgo.

α: es el vector de participaciones

A: Índice de aversión al riesgo

Ω: matriz de varianzas y covarianzas del rendimiento de los activos.

R + N : es el vector de participaciones pertenecen al conjunto de N activos con riesgo y tienen valores reales positivos R.

El modelo está sujeto a las siguientes restricciones:

∑ i = 1 N a = 1 (11)

S t - A m o r t i z a c i ó n t ≥ 0 (12)

El ahorro bruto S_t se define como las diferencia entre el ingreso disponible Yd_t y el consumo C_t de la siguiente manera:

S t = Y d t - C t (13)

La riqueza de la familia en el período t, W_t está conformada por el salario Yl_t y riqueza no laboral S_t (Ahorros en el sistema financiero, rentas y transferencias), H_t es la vivienda y M_t el valor de la hipoteca.

W t = W 0 + S t + H t - M t (14)

La condición de primer orden de la ecuación (10) es:

V ' ( a * ) = E ( u ) = 0

0 < a * < 1

El objetivo del modelo es incorporar la vivienda como una proporción del valor total del portafolio, para estimar sus valores óptimos que maximizan su utilidad, tomando como referencia la varianza de un activo financiero riesgoso y la varianza de la rentabilidad de la vivienda a través de su tasa de alquiler r. El modelo permitirá analizar el comportamiento de los hogares frente al riesgo de mercado y su incidencia en las decisiones de inversión que definen la composición de su portafolio eficiente.

En este modelo, el hogar invierte su riqueza en la adquisición de activos riesgosos y en activos financieros libres de riesgo a partir de la información que suministra el mercado sobre el promedio de sus precios.

La riqueza total W _t de los hogares se define como la sumatoria del valor total de los ahorros y el valor total de la casa:

W t = S t + P t H t (15)

S_t: representa la cantidad de Ahorro que posee la familia durante el periodo t, la cual recibe una tasa de interés libre de riesgo en el sistema financiero a través de cuentas de ahorro, depósitos a término, bonos u otros activos.

Los gastos corrientes C_t son los siguientes: alimentos, bebidas y tabaco, salud, transporte y comunicaciones, recreación, educación bienes y servicios personales y otros pagos.

El ahorro total de los hogares en el período t se define como:

S t = Y d t - C t - a m o r t t (16)

P_tH_t: representa el valor de la vivienda estimado por el hogar donde los propietarios del inmueble están efectuando los pagos de la hipoteca, con el sistema financiero o con una cooperativa.

La amortización amort_t corresponde al valor de la cuota, la cual incluye el pago a capital y los intereses y los rendimientos de ambos activos son:

R s t = μ s + ε s Rentabilidad del ahorro, invertida en el sistema financiero (17)

R h t = µ h + e h : rentabilidad de la vivienda.

La rentabilidad total esperada del portafolio es: μ ˇ = s t μ s t + h t μ h t

La rentabilidad de la vivienda está definida como:

R h t   =   V a l o r   d e l   a l q u i l e r V a l o r   d e l   i n m u e b l e (18)

Otra forma de calcular el retorno de vivienda si el hogar no decide alquilar la vivienda es la siguiente:

R h t = P t - G a m s t - 1 - P t - 1 P t - 1 (19)

Gams_t-1: gastos de administración y mantenimiento de la vivienda en el período t.

La tasa de interés real después de impuestos que permite calcular la rentabilidad de la vivienda es:

r d t = 1 + 1 - τ i s 1 + π t (20)

i_s: la tasa de interés nominal en el periodo s que se paga por adquirir la vivienda está dada en términos de la UVR.

τ: tasa de impuesto predial, calculada como el porcentaje estimado sobre el valor que los hogares suministraron en la encuesta de hogares.

π t : tasa de inflación del año t calculada con base en el IPC.

La matriz de covarianzas Ω de los retornos dada como:

Ω = σ S 2 σ s h σ h s σ h 2 (21)

Dividiendo la ecuación (15) por W_t , se obtiene la participación de los activos en la riqueza de las familias:

1 = h t + s t (22)

Donde:

h t = P t H t W t : es la participación del valor de la vivienda en la riqueza total.

S t = S t W t : es la participación del ahorro total en la riqueza total.

μ_st = Media de la tasa de ahorro en el período t.

μ_ht = Media de la tasa de alquiler de la vivienda en el período t.

El problema de maximización es (Flavin & Takashi, (2002), págs. 345-362):

M a x w s t μ s t + h t μ h t -   A 2 [ s t , h t ] Ω [ s t , h t ] T (23)

Sujeto a dos restricciones:

1 = h t + s t

s i t - a t ≥ 0

La segunda restricción corresponde al ahorro, donde i equivale al número de activos.

En esencia el modelo consiste en maximizar la riqueza w sobre los activos de los hogares, condicionado al valor de s_t y h_t . El portafolio óptimo está basado en el supuesto que el hogar maximiza una función de media y varianza de la rentabilidad esperada de los dos activos, sujeto a unas restricciones y al riesgo que genera la inversión de la vivienda.

Dados los valores s_t ,h_t la media y la varianza de la frontera eficiente, dependen del valor de la variable estado h_t y del grado de aversión al riesgo que asuma el hogar.

La preferencia al riesgo se refleja en el parámetro A que indica el grado de aversión al riesgo, donde A > 0 ,pero disminuye cuando A → 0.

La media total del portafolio es:

μ ˇ = s t μ s t + h t μ h t (24)

La varianza del portafolio es:

σ 2 = s t , h t Ω [ s t , h t ] T (25)

El portafolio óptimo se ubica en el punto de tangencia en el límite de la frontera del conjunto de carteras eficientes con la pendiente de la curva de indiferencia, determinada por el grado de aversión al riesgo del inversionista. Se espera que entre mayor sea la aversión al riesgo, las familias comienzan a pagar sus hipotecas casi inmediatamente. La restricción de que el valor de la hipoteca no puede exceder el valor de la casa, es obligatoria para determinar el portafolio eficiente. Dada la estimación de la rentabilidad esperada de los activos que componen el portafolio, el modelo predice que los inversionistas prefieren invertir en activos inmobiliarios frente a otros activos riesgosos, para tal efecto se define una tasa de ahorro optima (s*) que minimiza la varianza del portafolio y está dada por la siguiente ecuación: (Diaz, 2011, pág. 72):³

s * = [ μ S - μ h + σ h 2 - σ s h A ] A ( σ h 2 - 2 σ s h + σ s 2 (26)

El nivel de ahorro optimo calculado (Ecuación 26), depende inversamente del nivel de aversión al riesgo A y directamente de la diferencia entre la media de la tasa de ahorro y la media del alquiler de la vivienda, así como el efecto que genera el producto de la aversión al riesgo de los hogares con la diferencia entre la varianza de la vivienda y la covarianza entre las tasas de interés de los activos financieros y la tasa de alquiler de la vivienda.

Si la diferencia entre la media de la tasa de ahorro y la de la tasa de alquiler aumenta entonces el porcentaje de ahorro optimo es mayor. Este resultado demuestra que el inversionista realmente estará motivado por una atractiva tasa de interés que ofrezca el sistema financiero. Es de anotar que la volatilidad de la tasa de ahorro se constituye en un factor que afecta negativamente la proporción de ahorro optimo en el portafolio, es decir si la volatilidad aumenta entonces disminuye la cuota de ahorro del inversionista.

La proporción óptima de la rentabilidad de vivienda es:

h * = 1 - s * (27)

Por lo tanto:

s * + h * = 1 (28)

Este modelo también se propone como una extensión del Modelo de media varianza de Markowitz, pero toma en consideración solo la vivienda como el único activo del portafolio de este tipo de inversionistas, donde la riqueza ( W t ) se basa en el flujo neto de la casa que se define como la diferencia entre el valor actual de la casa y el valor de la hipoteca:

W t = P t H t - M t (29)

La familia invierte en su propia vivienda, pero la hipoteca al sistema financiero en el período t y se define como M_t con la siguiente condición:

M t ≤ 1   -   m P t H t ∀ t (30)

Se asume que el inversionista puede pedir prestado hasta el valor de la casa menos el pago de la cuota inicial, la cual se representa como una proporción (m) del valor de la casa.

El ingreso disponible del hogar se distribuye entre el gasto corriente y el pago de la hipoteca:

Y t = P t C t + i t m P t H t (31)

donde

Y_t: Ingreso disponible del hogar

P_tC_t: gasto corriente.

i_t: tasa de interés de la Hipoteca.

M_tmP_tH_t: valor de la hipoteca.

Como resultado de este modelo, se define una tasa de rentabilidad de tener vivienda propia a partir de la varianza de la tasa de interés hipotecaria, la aversión al riesgo y el comportamiento de los hogares frente al cambio de los parámetros anteriormente mencionados.

Este grupo presenta una mayor exposición al riesgo por cuanto cualquier incremento en la tasa de interés de los préstamos de vivienda afecta sensiblemente su riqueza, donde el mayor activo del portafolio es la casa.

El valor de la casa generalmente excede el patrimonio neto del hogar, que se financia a través del sistema financiero con un contrato de hipoteca. Por lo tanto, la vivienda representa el 100% de la riqueza; sin embargo, un aumento en la tasa de interés del crédito puede incrementar el pago de las cuotas, durante los años de financiación.

Cuando el hogar decide adquirir una hipoteca M para financiar la compra de vivienda, es necesario considerar el ingreso laboral como el salario y el riesgo asociado a la incertidumbre de conservar el empleo, que previene a los prestamistas de otorgar préstamos cuando el ingreso de estos hogares se afecta por el desempleo (Campbel, 2003).

El valor de una hipoteca M (i,H,B,K), depende de las tasas de interés, i, el valor de la propiedad, H, el saldo pendiente, B la edad de los préstamos, K, y algunos otros parámetros (Deng & Quigley, 2000, pág. 278). Para este caso, se considera que la hipoteca representa un porcentaje del valor total de la vivienda y no debe superar el 70% del valor total.

De otra parte, se define una función de la utilidad de tener vivienda (dada como la diferencia entre el valor actual de la casa y el valor actual de la hipoteca), para determinar una tasa de rentabilidad óptima cuando el propietario decide alquilar el inmueble, para analizar el comportamiento de los inversionistas cuando consideran la volatilidad de la tasa de interés hipotecaria y la aversión al riesgo, y su incidencia en la rentabilidad.

Por lo tanto, la utilidad neta de la casa se define como la diferencia entre el valor actual del alquiler y el valor actual de la hipoteca M_t.

El valor actual de la hipoteca es (Marin & Rubio, 2001, págs. 50,51):

M t = C t i t ( 1 - 1 1 + i t n ) (32)

El valor actual del alquiler es:

H t = A l q u i l e r t i t ( 1 - 1 1 + i t n ) (33)

Donde:

C_t: el valor de la cuota anual, i_t la tasa de interés nominal y n el número de años estimado para financiar la vivienda.

i_t: tasa de interés de la hipoteca.

i’_t: tasa de interés de un activo de renta fija.

La utilidad de la casa está definida como:

W t = H t - M t (34)

Dividimos esta ecuación por W t para determinar la proporción de la casa y la hipoteca dentro de la utilidad total.

1 = h t - m t (35)

h t = 1 + m t (36)

Donde:

h t = P t H t W t : valor actual del alquiler de la vivienda sobre el flujo neto de la casa.

m t M t W t : proporción del valor total de la casa que está hipotecado, sobre el flujo neto de la casa.

μ_it: promedio de las tasas de interés del crédito de vivienda durante el periodo t.

μ_rt: promedio de la tasa de alquiler estimada por los hogares durante el periodo t.

R i t = μ i - e i t

R r t = μ r - ε r t

La rentabilidad de la porción de la vivienda pagada con recursos propios es:

r t = V a l o r   d e l   a l q u i l e r   d e   l a   c a s a V a l o r   t o t a l   d e   l a   c a s a (37)

La porción de la vivienda financiada, es decir, la tasa de hipoteca, está afectada por la tasa de interés nominal i_t , que financia el valor del crédito hipotecario. En este caso se considera sólo el pago de la tasa de interés, dado que el pago a capital es la inversión que efectúan los hogares en la adquisición de vivienda y es equivalente a su ahorro.

El valor óptimo de la vivienda se basa en el supuesto de que el hogar maximiza el valor de su riqueza, a partir de una función de media varianza, a partir la tasa de interés del crédito y del alquiler de la vivienda. El objetivo es determinar los efectos de la variación de la tasa de interés hipotecaria y la aversión al riesgo sobre la rentabilidad de la vivienda.

El problema de los hogares es:

m a x U w μ r t h t - μ i t m t - A 2 [ ( h t , m t ) Ω h t , m t T ] (38)

Sujeto a las siguientes restricciones:

Y d t = p c t C t + m t H t i t

1 = h t - m t (39)

Donde:

μ_rt: media de la tasa de alquiler de la vivienda.

μ_it: media de la tasa de interés de la hipoteca.

Ω = σ r 2 σ r i σ i r σ i 2 representa la matriz de varianzas y covarianzas

Yd_t: ingreso disponible en el periodo t.

p_ct: precio de los bienes de consumo, están dados y son iguales a 1.

C_t: gasto corriente de los hogares en el periodo t.

A: aversión al riesgo, disminuye cuando A tiende a cero.

σ i 2 : varianza de la tasa de interés.

σ r 2 : varianza de la tasa de alquiler de la casa.

La ecuación (38) trata un problema de decisión en tiempo discreto, puesto que el agente debe ejecutar una decisión cada vez que vence un pago y la restricción (39) describe la distribución del ingreso disponible de los hogares en consumo y pago de intereses de la hipoteca.

P_t H_t: Valor de la vivienda.

m_t: Porcentaje de vivienda que está financiada por el sistema financiero en Colombia equivale al 70% del valor total del inmueble.

Aplicando el lagrangiano a la función de utilidad de la casa tenemos la siguiente ecuación (Diaz, 2011, pág. 77):

L = h t μ r t - m μ i t - A 2 h 2 σ r 2 + 2 h m σ r i + m 2 σ i 2 - λ Y d t - p c t C t - - μ i t m t H t

r t * = A m [ σ p 2 + σ i r ] (40)

La anterior ecuación (40) muestra que la rentabilidad del alquiler de la vivienda depende directamente de la aversión al riesgo, la volatilidad de la tasa de interés del crédito hipotecario, la volatilidad de la tasa de alquiler y la covarianza entre las dos tasas. Un aumento de la aversión y la volatilidad incide sustancialmente en la rentabilidad de la vivienda. Cuando el inversionista, disminuye su aversión al riesgo, dado un nivel de volatilidad en la tasa de interés hipotecaria, la rentabilidad de la vivienda disminuye y prefiere invertir su portafolio en otro tipo de activos más rentables.

Una mayor volatilidad de la tasa de interés⁴ afecta sensiblemente el pago de la cuota hipotecaria, incrementando el riesgo de no pago hasta causar la pérdida del inmueble. En Colombia la Corte Constitucional a través del artículo 51, de 1991⁵ determinó que la vivienda es un bien mérito y por tanto no se debe dejar al mercado la fijación del costo de su financiamiento, ni las condiciones en las cuales se otorgan los cuales los créditos, por lo que sobre el mismo deben existir controles y cobrarse las menores tasas del mercado y menores aún para la vivienda de interés social.

En este caso el portafolio está compuesto por dos activos: la vivienda y los depósitos de ahorro, estableciendo que el valor de la vivienda está dado y que el agente asume una parte de la misma en forma de hipoteca y desea obtener alguna rentabilidad a través de su alquiler. Asimismo, considera rentable depositar parte de sus recursos en el sistema financiero. Al determinar la utilidad del portafolio se puede contrarrestar el riesgo de mercado que genera la variación de la tasa de interés sobre el pago de la hipoteca y definir la relación de cada activo con la tasa de alquiler y la tasa de interés de los depósitos de ahorro.

Sea la siguiente función de utilidad compuesta por dos activos el valor de la vivienda y el ahorro total y se expresa de la siguiente manera:

U   =   U   ( H t , S t ) (46)

sujeta a la siguiente restricción.

Y d t = C - t + i t ' S t + i t M t (47)

ρ: representa el porcentaje de la casa pagada con recursos propios.

1-ρ: porcentaje del valor total de la casa que está financiada por el banco.

r_t: tasa de alquiler de la vivienda, si el propietario decide alquilarla.

I’_t: Tasa de interés que se paga por los depósitos de ahorro.

i_t: Tasa de interés que se paga por la hipoteca.

M_t Valor total de la Hipoteca.

H_t: El valor de la casa está dado.

Yd_t: Ingreso disponible del hogar en el período t.

C ¯ t : Gasto corriente del Hogar está dado.

Donde θ, es el porcentaje de participación del ingreso dentro del gasto de vivienda representado por el pago de la cuota del crédito y 1 - θ: es la proporción del ingreso dedicada al ahorro. El valor de la casa se representa de la siguiente manera:

H t =   ρ H - t + ( 1 - ρ ) ( H t r t - i t M t ) (48)

1 - ρ H ¯ t = 1 - ρ H t r t - i t M t

H ¯ t = H t r t - i t M t . En esta ecuación el flujo neto de la casa se define como la diferencia entre la tasa de alquiler por el valor de la casa y el pago de la hipoteca, cuando esta diferencia se reduce, el propietario del inmueble se expone a un menor riesgo de pérdida.

i t M t = + H t r t - H - t

Y d t - C ¯ t + H ¯ t = i t ' S t + H t r t

D = Y d t - C ¯ t + H ¯ t . El ingreso disponible, el consumo y el valor de la casa están dados y se simplifican a través de D.

D =   i t ' S t + H t r t (49)

L = U ( H , S ) - λ ( S t i ' t + H t r t - D )

∂ U ∂ H ∂ U ∂ S = i t ' r

Aplicando la función de Utilidad Cobb-Douglas a la utilidad del portafolio

U H t θ S t 1 - θ 1 - A 1 - A (50)

Donde A representa el parámetro de Aversión al riesgo 0 > A ≤ 1

∂ U ∂ S = ( 1 -   θ ) H t θ S t - θ

S t * = D i ’ t ( 1 - θ ) [ θ r 2 + 1 - θ i t ' ] (51)

La cantidad óptima de ahorro (ecuación 50) (Diaz, 2011, pág. 81) establece está determinada positivamente por la tasa de interés que el mercado ofrece para depósitos ahorro y negativamente por la tasa de alquiler al cuadrado (r²), cuando ésta última aumenta, el inversionista disminuye la proporción de recursos en depósitos de ahorro, dados los gastos financieros que implican los créditos de vivienda y las cuentas de ahorro. Por lo tanto, si la tasa de interés de los depósitos y la de otros tipos de captaciones aumenta, el valor óptimo del ahorro se incrementa incidiendo positivamente en la rentabilidad del portafolio.

Reemplazando la ecuación (51) en la (49) se obtiene la siguiente función:

H t * = D θ r t [ θ r 2 + 1 - θ i t ' ] (52)

La ecuación (52) establece que la rentabilidad de la vivienda se relacionada directamente con la tasa de alquiler r_t dada la contribución de recursos a los gastos de vivienda θ, pues un aumento en la tasa de alquiler incrementa de manera sensible la rentabilidad de la vivienda y está afectada inversamente por la sumatoria de la tasa de alquiler al cuadrado y la tasa de interés de los depósitos de ahorro por sus participaciones. Es de anotar que la tasa de alquiler está sujeta al comportamiento de la tasa de inflación.

Finalmente, la función de utilidad óptima se define como (Diaz, 2011, pág. 82):

U ( H t * , S t * ) = U ( H t * θ S t * ( 1 - θ ) ) 1 - A 1 - A (53)

La ecuación anterior demuestra que la función de utilidad del Hogar depende positivamente del valor óptimo de la casa ( H t * ) y de la cantidad óptima de ahorro ( S t * ) la cual está influenciada positivamente por la tasa de interés e inversamente por el coeficiente de aversión relativa al riesgo (1 - A).

Otro portafolio está compuesto por una función de utilidad que depende de dos activos los gastos corrientes C_t y los gastos en vivienda H_t.. Asimismo, la función de utilidad del portafolio presenta los siguientes productos (Díaz, 2011):

U ( H t , C t ) = ( H t θ , C t 1 - θ ) 1 - A 1 - A (54)

Sujeto a:

Y d t = P t C t + i t M t (55)

H ¯ t = H t r - i t M t es el flujo neto de la casa

i t M t = + H t r t - H ¯ t

∂ L ∂ C = ∂ U ∂ C - λ p = 0 ∂ U ∂ H ∂ U ∂ C = r p

Donde:

Yd_t: ingreso disponible del hogar

M_t: valor de la hipoteca.

r_t: tasa de alquiler que recibiría al hogar por arrendar el inmueble

C_t: gasto corriente del hogar.

A: parámetro de aversión al riesgo. 0 < A ≤ 1

ρ: valor de la casa pagada con recursos propios.

1 - ρ: % del valor de la casa financiada que está financiada.

La función exponencial de utilidad está definida como (Yao et al., 2005, p. 197-239):

U ( H t , C t ) = ( H t θ , C t 1 - θ ) 1 - A 1 - A (56)

Donde θ: porcentaje de participación del ingreso dentro del gasto de vivienda 1 - θ: proporción del ingreso dedicada al gasto corriente.

C t > 0 ; H t > 0

La condición de primer orden:

∂ U ∂ H = θ H t 1 - θ C t 1 - θ

C t * = 1 - θ r t H t θ (57)

Y d t = P t C t + i t M t

H t = D - P t C t r t (58)

Después de unas manipulaciones algebraicas tenemos que es consumo óptimo se define como:

C t * = ( 1 - θ ) D (59)

El gasto del consumo es una función depende directamente de D y la propensión marginal a consumir. Igualando (57) y (59) definimos H* como:

H t * = D θ r t (60)

Esta ecuación indica que el gasto dedicado al pago de la casa depende directamente de D es decir del Ingreso disponible y el valor de la casa, dada la proporción del ingreso destinado a cubrir el pago de la casa (θ), e inversamente de la tasa de alquiler r_t , es decir que si el hogar decide alquilar el inmueble se reduce los gastos dedicados al pago de la amortización de la vivienda (Véase Tabla 2). La función de utilidad óptima se define como:

U ( H t * , C t * ) = U ( H t * θ C t * ( 1 - θ ) ) 1 - A 1 - A (61)

Tabla 2

Fuente: elaborado por el autor (Díaz, 2011, p. 86)

La anterior función de utilidad (61) demuestra que el gasto en vivienda representa una parte importante de los hogares junto con el consumo por lo tanto buena parte del pago del activo inmobiliario debe cubrirse para satisfacer el bienestar de los hogares (Diaz, 2011, pág. 84).

A continuación se presentan las siguientes tablas que resumen las principales diferencias entre los aportes propuestos por Markowitz de la teoría clásica del portafolio y los principales autores que incluyen la vivienda en el análisis del portafolio optimo, para compararlo con los aportes del autor de este artículo.

Tabla 3

Fuente: elaborado por el autor (Díaz, 2011).

Los resultados obtenidos a través de la presentación de estas propuestas (Tablas 2 y 3), permiten discernir, que el modelo de media-varianza que incorpora la vivienda (lado izquierdo de la tabla), se considera como una extensión del modelo original propuesto por Harry Markowitz en su “Teoría del portafolio” (Markowitz, Portfolio Selection, 1952); al incluir la rentabilidad de la vivienda propia como parte de los activos del portafolio de los hogares sujeto a unas restricciones. Se consideran parámetros como la aversión al riesgo del inversionista y el riesgo de mercado de los activos, para determinar la rentabilidad del inmueble cuando está hipotecado.

Esta metodología permite integrar el análisis de la aversión al riesgo del inversionista y el comportamiento de los precios del mercado de los activos financieros, de tal manera que se articula, el comportamiento de los individuos (aversión al riesgo), cuando sus decisiones de inversión están afectadas por la incertidumbre y plantea un nuevo esquema de valoración de la vivienda al determinar una tasa optima de alquiler que mejore la rentabilidad del inmueble.